f′（x）=

2ax2-ax2+1

x2

=

ax2+1

x2

，

∵函数f(x)=

ax2-1

x

在区间（0，+∞）上单调递增，∴当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立．

即当x∈（0，+∞）时，ax²+1＞0恒成立，

当a＞0时，y=ax²+1的图象为开口向上，最低点为（0，1）的抛物线，∴当x∈（0，+∞）时，ax²+1＞0恒成立．

当a=0时，1＞0恒成立．

当a＜0时，y=ax²+1的图象为开口向下，最高点为（0，1）的抛物线，∴当x∈（0，+∞）时，ax²+1＞0不恒成立．

∴实数a的取值范围是a≥0，

故选A