问题
解答题
已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足：对∀x1，x2∈（0，+∞）恒有f(
（1）求f（1）的值； （2）证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上为单调递减函数； （3）若f（3）=-1， （ⅰ）求f（9）的值；（ⅱ）解不等式：f（3x）＜-2． |
答案
（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f(
)=f(x1)-f(x2)x1 x2
令x1=x2=1，代入上式解得f（1）=0，
（2）设x2＞x1＞0，则 f(x2)-f(x1)=f(
)x2 x1
∵x2＞x1＞0，∴
＞1，∴f(x2 x1
)＜0，x2 x1
即f（x2）-f（x1）＜0，∴f（x2）＜f（x1）
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（3）∵f（3）=-1，∴f（9）=f（3）+f（3）=-2，
∴不等式f（3x）＜-2可化为f（3x）＜f（9），
又∵函数在（0，+∞）上是减函数，∴3x＞9，
即3x＞32，解得：x＞2，
即不等式的解集为 （2，+∞）．