问题
解答题
| 已知f（x）是定义在集合D上的函数，且-1＜f′（x）＜0． （1）若f(x)=-
（2）若对于定义域中任意的x1，x2，存在正数ε，使|x1-1|＜
|
答案
（1）由于f′（x）＜0，则函数f（x）在[
，π]上单调递减，π 2
故fmax(x)=f(
)=-π 2
+asinπ 2 2
=π 2
，解得a=1-π 4 1 4
则原不等式为|
x+1|＜1 4
，解之得-5＜x＜-31 4
故原不等式的解集为（-5，-3）；
（2）不妨设x1＜x2，令g（x）=f（x）+x
由于f′（x）＞-1，故g′（x）=f′（x）+1＞0，则函数g（x）为其定义域上的增函数，
即g(x1)＜g(x2 )，亦即f(x1)+x1＜f(x2 )+x2 ，
则f(x1)-f(x2 )＜x2-x1
又由函数f（x）在D上递减，则f(x1)＞f(x2 )
故|f(x1)-f(x2 )|＜|x2-x1 |
∵|f(x1)-f(x2 )|＜|x2-x1 |=|(x2-1)-(x1 -1)|≤|x2-1|-|x1 -1|＜
+ɛ 2
=ɛɛ 2
∴|f(x1)-f(x2 )|＜ɛ