已知函数f （x）=ex，g（x）=lnx，h（x）=kx+b．
（1）当b=0时，若对∀x∈（0，+∞）均有f （x）≥h（x）≥g（x）成立，求实数k的取值范围；
（2）设h（x）的图象为函数f （x）和g（x）图象的公共切线，切点分别为（x1，f （x1））和（x2，g（x2）），其中x1＞0．
①求证：x1＞1＞x2；
②若当x≥x1时，关于x的不等式ax2-x+xe-x+1≤0恒成立，求实数a的取值范围．
（1）依题意对∀x∈（0，+∞）均有ex≥kx≥lnx成立
即对任意∀x∈（0，+∞）均有
≥k≥ex x
成立…（1分）lnx x
∴（
）min≥k≥(ex x
)maxlnx x
因为（
）=ex x
故y=ex(x-1) x2
在（0，1）上减，（1，+∞）增ex x
∴（
）min=eex x
又(
)=lnx x
故y=1-lnx x2
在（0，e）上减，（e，+∞）增lnx x
∴(
)max=lnx x
即k的取值范围是[1 e
，e]1 e
（2）由题知：h（x）即为y-e x1=e x1（x-x1）即y=e x1•x+e x1-x1 e x1
也为y=lnx2=
(x-x2)即y=1 x2
x+lnx2-11 x2
∴
…（6分）ex1= 1 x2 ex1-x1ex1=lnx2-1
又x1=0，∴e x1＞1 即
＞1⇒x1＞11 x2
即x1＞1＞x2…（8分）
（3）令F（x）=ax2-x+xe-x+1（x≥x1）
∴F′（x）=-1-xe-x+e-x=-1+e-x（1-x）（ x≥x1）
又x≥x1＞1，F′（x）=-1-xe-x+e-x=-1+e-x（1-x）＜0
即F（x）=ax2-x+xe-x+1（x≥x1）单调减，
所以只要F（x）≤F（x1）=ax2-x1+x1e -x1+1≤0
即a+x1-x1e x1+e x1≤0…（12分）
由ex1= 1 x2 ex1-x1ex1=lnx2-1
∴x1=-lnx2 ex1-x1ex1=lnx2-1
即x1-x1ex1+ex1=-1
故只要a+x1-x1ex1+ex1=a-1≤0得：
a≤1
综上，实数a的取值范围是（-∞，1]…（14分）