问题
解答题
| 圆c：x2+（y-1）2=1和圆c1：（x-2）2+（y-1）2=1，现构造一系列的圆c2，c3，…，cn，…，使圆cn+1同时与圆cn和圆c相切，并且都与x轴相切． ①写出圆cn-1的半径rn-1与圆cn的半径rn之间关系式，并求出圆cn的半径； ②（理科做）设两个相邻圆cn和cn+1的外公切线长为ln，求
（文科做）求l1+l2+…+ln． |
答案
（1）由题意，c1（2，1），r1=1，设cn（xn，rn），cn-1（xn-1，rn-1），则有xn=2
，xn-xn-1=-2rn
，即rnrn-1
-1 rn
=1∴1 rn-1
=n，从而有rn=1 rn
；1 n2
（2）（理科）由（1）知，cn(
， 2 n
)，cn-1(1 n2
，2 n-1
)，∴ln=1 (n-1)2
，2 n(n+1)
∴l1+l2+…+ln=2(1-
+1 2
-1 2
+…+1 3
-1 n
)=2(1-1 n+1
)=1 n+1
，∴2n n+1
(l1+l2+…+ln)=2．lim n→∞
（文科）由（1）知，cn(
， 2 n
)，cn-1(1 n2
，2 n-1
)，∴ln=1 (n-1)2
，2 n(n+1)
∴l1+l2+…+ln=2(1-
+1 2
-1 2
+…+1 3
-1 n
)=2(1-1 n+1
)=1 n+1
，2n n+1