问题 解答题

是否存在这样的正整数n,使得3n2+7n-1能整除n3+n2+n+1?请说明理由.

答案

用反证法,假设存在一个正整数n,使得(3n2+7n-1),

整除n3+n2+n+1,则(3n2+7n-1)整除{(n3+n2+n+1)+(3n2+7n-1)],

=n(n2+4n+8).

∵n与3n2+7n-1互素,所以(3n2+7n-1)整除(n2+4n+8).

从而,3n2+7n-1互素,所以,

(3n2+7n-1)整除(n2+4n+8).

从而,3n2+7n-1≤n2+4n+8,即2n2+3n-9≤0,所以,n=1,但n=1并不满足题目的要求,矛盾.

因此,满足题目要求的正整数n不可能存在.

单项选择题
多项选择题