动点P与点F（1，0）的距离和它到直线l：x=-1的距离相等，记点P的

问题解答题

动点P与点F（1，0）的距离和它到直线l：x=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C₁．圆C₂的圆心T是曲线C₁上的动点，圆C₂与y轴交于M，N两点，且|MN|=4．

（1）求曲线C₁的方程；

（2）设点A（a，0）（a＞2），若点A到点T的最短距离为a-1，试判断直线l与圆C₂的位置关系，并说明理由．

答案

（1）设动点P的坐标为（x，y），依题意，得|PF|=|x+1|，

即

(x-1)2+y2

=|x+1|，（2分）

化简得：y²=4x，

∴曲线C₁的方程为y²=4x．（4分）

（2分）

∴曲线C₁的方程为y²=4x．（4分）

（2）设点T的坐标为（x₀，y₀），圆C₂的半径为r，

∵点T是抛物线C₁：y²=4x上的动点，

∴y₀²=4x₀（x₀≥0）．

∴|AT|=

(x0-a)2+(y0-0)2

（6分）

-2ax0+a2+4x0

[x0-(a-2)]2+4a-4

．

∵a＞2，∴a-2＞0，则当x₀=a-2时，|AT|取得最小值为2

a-1

，（8分）

依题意得2

a-1

=a-1，

两边平方得a²-6a+5=0，

解得a=5或a=1（不合题意，舍去）．（10分）

∴x₀=a-2=3，y₀²=4x₀=12，即y0=±2

．

∴圆C₂的圆心T的坐标为（3，±2

）．

∵圆C₂与y轴交于M，N两点，且|MN|=4，

∴|MN|=2

r2-

=4．

∴r=

．（12分）

∵点T到直线l的距离d=|x0+1|=4＞

，

∴直线l与圆C₂相离．（14分）