问题
解答题
已知直线l：y=kx+1，圆C：（x-1）2+（y+1）2=12．
（1）试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
（2）求直线l被圆C截得的最短弦长．
答案
（1）由
，消去y得到（k2+1）x2-（2-4k）x-7=0，y=kx+1 (x-1)2+(y+1)2=12
∵△=（2-4k）2+28k2+28＞0，
∴不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
（2）设直线与圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），
则直线l被圆C截得的弦长|AB|=
|x1-x2|=21+k2
=28-4k+11k2 1+k2
，11- 4k+3 1+k2
令t=
，则有tk2-4k+（t-3）=0，4k+3 1+k2
当t=0时，k=-
；3 4
当t≠0时，由k∈R，得到△=16-4t（t-3）≥0，
解得：-1≤t≤4，且t≠0，
则t=
的最大值为4，此时|AB|最小值为24k+3 1+k2
，7
则直线l被圆C截得的最短弦长为2
．7