问题
解答题
已知曲线x2+y2-4x-2y-k=0表示的图象为圆．
（1）若k=15，求过该曲线与直线x-2y+5=0的交点，且面积最小的圆的方程．
（2）若该圆关于直线x+y-4=0的对称圆与直线6x+8y-59=0相切，求实数k的值．
答案
（1）设所求圆的圆心坐标为A（x0，y0）
当k=15时，代入x2+y2-4x-2y-k=0，化简得（x-2）2+（y-1）2=20，
∴圆心B（2，1），到直线x-2y+5=0的距离为
=|2-2+5| 1+4
，5
当相交弦为所求圆的直径时，圆的面积最小，即圆心A在直线x-2y+5=0上；
则
，解得x°-2y°+5=0
=-2y°-1 x°-2
，r=x°=1 y°=3
=(2
)2-5
25 15
∴所求圆的方程为：（x-1）2+（y-3）2=15
（2）设圆心B（2，1）关于y=-x+4的对称圆的圆心为C（x，y），
∴
，解得x=3，y=2；则 C（3，2）
=-y+1 2
+4x+2 2
=1y-1 x-2
∵对称圆C与直线6x+8y-59=0相切，
∴点（3，2）到6x+8y-59=0的距离为
=|6×3+8×2-59| 62+82 5 2
即r=5 2
由x2+y2-4x-2y-k=0得
=16+4-4(-k) 2 5 2
解得，k=5 4