问题
解答题
已知曲线x2+y2-4x-2y-k=0表示的图象为圆.
(1)若k=15,求过该曲线与直线x-2y+5=0的交点,且面积最小的圆的方程.
(2)若该圆关于直线x+y-4=0的对称圆与直线6x+8y-59=0相切,求实数k的值.
答案
(1)设所求圆的圆心坐标为A(x0,y0)
当k=15时,代入x2+y2-4x-2y-k=0,化简得(x-2)2+(y-1)2=20,
∴圆心B(2,1),到直线x-2y+5=0的距离为
=|2-2+5| 1+4
,5
当相交弦为所求圆的直径时,圆的面积最小,即圆心A在直线x-2y+5=0上;
则
,解得x°-2y°+5=0
=-2y°-1 x°-2
,r=x°=1 y°=3
=(2
)2-5
25 15
∴所求圆的方程为:(x-1)2+(y-3)2=15
(2)设圆心B(2,1)关于y=-x+4的对称圆的圆心为C(x,y),
∴
,解得x=3,y=2;则 C(3,2)
=-y+1 2
+4x+2 2
=1y-1 x-2
∵对称圆C与直线6x+8y-59=0相切,
∴点(3,2)到6x+8y-59=0的距离为
=|6×3+8×2-59| 62+82 5 2
即r=5 2
由x2+y2-4x-2y-k=0得
=16+4-4(-k) 2 5 2
解得,k=5 4