问题 解答题

已知曲线x2+y2-4x-2y-k=0表示的图象为圆.

(1)若k=15,求过该曲线与直线x-2y+5=0的交点,且面积最小的圆的方程.

(2)若该圆关于直线x+y-4=0的对称圆与直线6x+8y-59=0相切,求实数k的值.

答案

(1)设所求圆的圆心坐标为A(x0,y0

当k=15时,代入x2+y2-4x-2y-k=0,化简得(x-2)2+(y-1)2=20,

∴圆心B(2,1),到直线x-2y+5=0的距离为

|2-2+5|
1+4
=
5

当相交弦为所求圆的直径时,圆的面积最小,即圆心A在直线x-2y+5=0上;

x°-2y°+5=0
y°-1
x°-2
=-2
,解得
x°=1
y°=3
r=
(2
5
)
2
-
5
2
=
15

∴所求圆的方程为:(x-1)2+(y-3)2=15

(2)设圆心B(2,1)关于y=-x+4的对称圆的圆心为C(x,y),

y+1
2
=-
x+2
2
+4
y-1
x-2
=1
,解得x=3,y=2;则 C(3,2)

∵对称圆C与直线6x+8y-59=0相切,

∴点(3,2)到6x+8y-59=0的距离为

|6×3+8×2-59|
62+82
=
5
2

r=

5
2

由x2+y2-4x-2y-k=0得

16+4-4(-k)
2
=
5
2

解得,k=

5
4

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