（1）∵f(x)=

x2+1

ax+b

是奇函数，∴a≠0，其定义域为{x|x≠-

b

a

}，

∴-

b

a

=0①，又f（1）=2，得

2

a+b

=2②，由①②解得b=0，a=1，

∴f(x)=

x2+1

x

(x≠0)．

（2）F(x)=

x

f(x)

=

x

x2+1 x

=

x2

x2+1

（x＞0），

F(a)+F(

1

a

)=

a2

a2+1

+

( 1 a )2

( 1 a )2+1

=

a2

a2+1

+

1

1+a2

=1，

而F(1)=

1

2

，

所以S=F（1）+F（2）+F（3）+…+F（2012）+F（

1

2

）+F（

1

3

）+…+F（

1

2012

）=F（1）+2011=

4023

2

．