设函数f（x）=31-x-1，函数g（x）=ax2+5x-2a．（1）求f（x

问题解答题

设函数f（x）=3^1-x-1，函数g（x）=ax²+5x-2a．

（1）求f（x）在[0，1]上的值域；

（2）若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

答案

（1）∵f（x）在[0，1]上单调递减，

∴f（x）_min=f（1）=0，f（x）_max=f（0）=2，

∴f（x）在[0，1]上的值域[0，2]…..（4分）

（2）f（x）在[0，1]上的值域[0，2]，函数g（x）在[0，1]上的值域D，则[0，2]⊆D．

①a=0，g（x）=5x，值域[0，5]，符合条件； …（6分）

②a＞0，对称轴x=-

＜0，∴函数g（x）在[0，1]上单调递增，g（x）_max=g（1）=5-a

由5-a≥2，∴a≤3，∴0＜a≤3 …..（8分）

③a＜0，对称轴x=-

＞0

当0＜-

＜ 1即a＜-

时，最小值在x=0或x=1处取，不合题意

当-

≥1即-

≤a＜0时，函数g（x）在[0，1]上单调递增，不合题意…．（12分）

综上，a∈[0，3]…（13分）