问题
解答题
| 已知动圆过定点M（0，1），且与直线L：y=-1相切．． （1）求动圆圆心C的轨迹的方程； （2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别 为α和β，当α，β变化且α+β=θ(0＜θ＜π且θ≠
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答案
（1）由抛物线定义知C的轨迹是抛物线，且p=2，
∴动圆圆心C的轨迹方程：x2=4y（6分）
（2）设点A(x1，
)，B(x2，x12 4
)x 22 4
则直线AB的方程为：y-
=x 21 4
(x-x1)，
-x 22 4 x 21 4 x2-x1
化简得：y=
x-x2+x1 4
（9分）x1x2 4
又因为tanα=
=x 21 4 x1
，tanβ=x1 4
=x 22 4 x2 x2 4
由α+β=θ，得tanθ=tan(α+β)=
=tanα+tanβ 1-tanαtanβ x1+x2 4 1- x1x2 16
则tanθ=
，x1+x2 4 1- x1x2 16
所以
=4-x1x2 4
（12分）x1+x2 tanθ
所以直线AB方程为y=
x-4+x2+x1 4 x1x2 tanθ
即y=
(x+x2+x1 4
)-44 tanθ
所以直线AB过定点(-
，-4)．（15分）4 tanθ