问题
解答题
已知定义在区间上的函数f（x）=
（1）求实数m，n的值； （2）求证：函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数． （3）若∀x1，x2∈[-1，1]，|f（x1）-f（x2）|≤t恒成立，求t的最小值． |
答案
（1）∵函数f（x）=
为奇函数，∴对于定义域内的任意实数x，都有f（-x）=-f（x）mx+n x2+1
即
=--mx+n x2+1
，∴-mx+n=-mx-n，∴n=0mx+n x2+1
∴f（x）=mx x2+1
∵f（
）=1 2 2 5
∴
=m× 1 2 (
)2+11 2
，∴m=12 5
∴m=1，n=0；
（2）证明：由（1）知，f（x）=
，求导函数可得：f′（x）=x x2+1 (1-x)(1+x) (x2+1)2
∵x∈[-1，1]，∴f′（x）≥0，∴函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数；
（3）∵函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数，
∴f（x）min=-
，f（x）max=1 2 1 2
∵∀x1，x2∈[-1，1]，|f（x1）-f（x2）|≤t恒成立，
∴f（x）max-f（x）min≤t
∴t≥1
∴t的最小值为1．