问题
解答题
已知函数f(x)=
（I）求函数f（x）的解析式； （II）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，求实数a的取值范围； （III）设x1，x2＞0，a1，a2∈[0，1]，且a1+a2=1，求证：
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答案
（I）因为f(x)=
x2-f′(2)x，1 2
所以f′（x）=x-f′（2）．（2分）
令x=2，得f′（2）=1，
所以f（x）=
x2-x．1 2
（II）设F（x）=f（x）+g（x）=lnx-x，
则F′(x)=
-1，（5分）1 x
令F′（x）=0，解得x=1．（6分）
当x变化时，F（x）与F′（x）的变化情况如下表：
| x | （0，1） | 1 | （1，+∞） |
| f′（x） | + | 0 | - |
| f（x） | ↑ | 极小值 | ↓ |
因为对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，
所以a≥-1．（9分）
（III）证明：由（II），得F（x）=lnx-x≤-1，即lnx≤x-1，
令x=
，得lnx1 a1x1+a2x2
≤x1 a1x1+a2x2
-1，x1 a1x1+a2x2
令x=
，得lnx2 a1x1+a2x2
≤x2 a1x1+a2x2
-1，（11分）x2 a1x1+a2x2
所以a1ln
+a2lnx1 a1x1+a2x2
≤a1(x2 a1x1+a2x2
-1)+a2(x1 a1x1+a2x2
-1)x2 a1x1+a2x2
因为a1+a2=1，
所以a1ln
+a2lnx1 a1x1+a2x2
≤1-a1-a2=0，（13分）x2 a1x1+a2x2
所以a1lnx1-a1ln（a1x1+a2x2）+a2lnx2-a2ln（a1x1+a2x2）≤0，
即a1lnx1+a2lnx2≤（a1+a2）ln（a1x1+a2x2）=ln（a1x1+a2x2），
所以ln(
•x a11
)≤ln(a1x′1+a2x2)，x a22
所以
•x a11
≤a1x1+a2x2（14分）x a22
