∵甲、乙、丙、丁四人分别按下列的要求作一个解为x₁，x₂的一元二次方程x²+px+q=0．

甲：p，q，x₁，x₂都取被3除余1的整数；

假设x₁=3n+1，x₂=3m+1，

∵x₁+x₂=-p=3n+1+3m+1=3（m+n）+2，

∴3（m+n）+2被除3余2，即-p被除3余2，

∴不能按上述要求作出方程；

乙：p，q，x₁，x₂都取被3除余2的整数；

假设x₁=3n+2，x₂=3m+2，

∵x₁+x₂=-p=3n+2+3m+2=3（m+n）+4=3（m+n+1）+1，

∴3（m+n+1）+1被除3余1，即-p被除3余1，

∴不能按上述要求作出方程，

丙：p，q取被3除余1的整数，x₁，x₂取被3除余2的整数；

假设x₁=3n+2，x₂=3m+2，

∵x₁+x₂=-p=3n+2+3m+2=3（m+n）+4=3（m+n+1）+1，

∴3（m+n+1）+1被除3余1，即-p被除3余1，

∵x₁x₂=q=（3n+2）（3m+2）=9mn+3n+3m+4=3（3mn+m+n+1）+1，

∴3（3mn+m+n+1）+1被除3余1，即q被除3余1，

∴能按上述要求作出方程，

例如：x²-13x+40=0，等（答案不唯一）

丁：p，q取被3除余2的整数，x₁，x₂取被3除余1的整数；

假设x₁=3n+1，x₂=3m+1，

∵x₁+x₂=-p=3n+1+3m+1=3（m+n）+2，

∴3（m+n）+2被除3余2，即-p被除3余2，

∵x₁x₂=q=（3n+1）（3m+1）=9mn+3m+3n+1=3（3mn+m+n）+1，

∴3（3mn+m+n+1）+1被除3余1，即q被除3余1，

∴不能按上述要求作出方程．