已知圆C：（x-2）2+（y-2）2=m，点A（4，6），B（s，t）．（1）

问题解答题

已知圆C：（x-2）²+（y-2）²=m，点A（4，6），B（s，t）．

（1）若3s-4t=-12，且直线AB被圆C截得的弦长为4，求m的值；

（2）若s，t为正整数，且圆C上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值λ（λ＞1），求m的值．

答案

（1）因为A（4，6），B（s，t）．

由3s-4t=-12，说明点B（s，t）适合直线3x-4y=-12，

由把A（4，6）代入直线3x-4y=-12成立，所以A，B共线3x-4y=-12，

则圆心（2，2）到直线3x-4y=-12的距离为d=

|3×2+(-4)×2+12|

32+(-4)2

=2，

又直线AB被圆C截得的弦长为4，

根据垂径定理知：m=2²+2²=8；

（2）设P（x，y）为圆C：（x-2）²+（y-2）²=m上任意一点，

则

(x-4)2+(y-6)2

(x-s)2+(y-t)2

=λ2，

整理得：（1-λ²）x²+（1-λ²）y²-（8-2λ²s）x-（12-2λ²t）y+52-λ²s²-λ²t²=0，

则该圆的方程即为（x-2）²+（y-2）²=m，

所以

4=8-2λ2s

4=12-2λ2t

①，整理得：λ²（t-s）=2，

因为s，t为正整数，且λ＞1，所以t-s=

λ2

≤1，

若t-s为小于等于0的整数，则λ²（t-s）=2不成立，所以，t-s=1．

则λ²=2．代入①得：s=3，t=4．

把λ²=2，s=3，t=4代入方程（1-λ²）x²+（1-λ²）y²-（8-2λ²s）x-（12-2λ²t）y+52-λ²s²-λ²t²=0，

得：（x-2）²+（y-2）²=10．

所以m=10．