问题
解答题
已知：椭圆C：
（1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的下顶点为B，直线y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M，N，当|BM|=|BN|时，求实数m的取值范围． |
答案
（1）圆（x-3）2+（y-1）2=3，圆心M（3，1），半径r=3
∵A（0，1），F2（c，0），∴直线AF2：
+y=1，即x+cy-c=0…（2分）x c
∵直线AF2与圆M相切，∴
=|3+c-c| c2+1
，解得c=3 2
∴a2=c2+1=3
∴椭圆C的方程为：
+y2=1…（5分）x2 3
（2）椭圆C的下顶点为B（0，-1）
设P为弦MN中点，由
得（3k2+1）x2+6kmx+3（m2-1）=0y=kx+m
+y2=1x2 3
∵直线与椭圆有两个交点，∴△＞0即m2＜3k2+1…①…（7分）
xP=
=-xM+xN 2
，yP=kxP+m=3mk 3k2+1 m 3k2+1
∴kBP=
=-yP+1 xP m+3k2+1 3mk
∵|BM|=|BN|，∴BP⊥MN，∴-
=-m+3k2+1 3mk
，即：2m=3k2+1…②…（10分）1 k
由②得k2=
…③2m-1 3
③代入①得2m＞m2
∴0＜m＜2又k2＞0，∴m＞1 2
故m的取值范围为
＜m＜2…（12分）1 2