问题
解答题
关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为α，β（α＜β），函数f（x）=
（1）求f（α）和f（β）的值． （2）证明：f（x）在[α，β]上是增函数． （3）对任意正数x1．x2，求证：|f(
|
答案
（1）由根与系数的关系得，α+β=
，αβ=-1.t 2
∴f(α)=
=4α-t α2+1
=4α-2(α+β) α2-αβ
=2 α
=-8 t- t2+16
(t+1 2
).t2+16
同法得f（β)=
(1 2
-t).（4分）（文科7分）t2+16
（2）证明：∵f/（x）=
=4(x2+1)-(4x-t)2x (x2+1)2
，而当x∈[α，β]时，-2(2x2-tx-2) (x2+1)2
2x2-tx-2=2（x-α）（x-β）≤0，
故当x∈[α，β]时，f/（x）≥0，
∴函数f（x）在[α，β]上是增函数．（9分）（文科14分）
（3）证明：
-α=x1α+x2β x1+x2
＞0，x2(β-α) x1+x2
-β=x1α+x2β x1+x2
＜0，x1(α-β) x1+x2
∴α＜
＜β，x1α+x2β x1+x2
同理α＜
＜β．x1β+x2α x1+x2
∴f(α)＜f(
)＜f(β)，故-f(β)＜-f(x1β+x2α x1+x2
)＜-f(α).（11分）x1β+x2α x1+x2
又f（α)＜f(
)＜f(β).两式相加得：-[f(β)-f(α)]＜f(x1α+x2β x1+x2
)-f(x1α+x2β x1+x2
)＜f(β)-f(α)，x1β+x2α x1+x2
即|f(
)-f(x1α+x2β x1+x2
)|＜f(β)-f(α).（13分）x1β+x2α x1+x2
而由（1），f（α）=-2β，f（β）=-2α且f（β）-f（α）=|f（β）-f（α）|，
∴|f(
)-f(x1α+x2β x1+x2
)|＜2|α-β|．（14分）x1β+x2α x1+x2