（1）令g（x）=x²+tx+1，对称轴方程为x=-

t

2

，

∵x∈[0，2]，∴由对称轴x=-

t

2

与区间[0，2]的位置关系进行分类讨论：

①当-

t

2

≤0，即t≥0时，g（x）min=g（0）=1，∴f（x）min=0．

②当0＜-

t

2

＜2，即-4＜t＜0时，g（x）min=g（-

t

2

）=1-

t2

4

，

考虑到g（x）＞0，所以-2＜t＜0，f（x）min=f（-

t

2

）=lg（1-

t2

4

）；

③当-

t

2

≥2，即t≤-4时，g（x）min=g（2）=5+2t，

考虑到g（x）＞0，∴f（x）没有最小值．

综上所述：当t≤-2时f（x）没有最小值；

当t＞-2时，f（x）_min=

lg(1- t2 4 )，-2＜t＜0 0，t≥0

．

（2）假设存在．

由题设条件，得

a2+ta+1=a b2+tb+1=b a≠b

，

等价于x²+tx+1=x在区间（0，2）上有两个不同的实根，

令h（x）=x²+（t-1）x+1在（0，2）上有两个不同的零点

∴

h(0)＞0 h(2)＞0 △＞0 0＜- b 2a ＜2

，即

1＞0 t＞- 3 2 (t-1)2-4＞0 0＜- t-1 2 ＜2

，

解得-

3

2

＜t＜-1．

故实数t的取值范围是（-

3

2

，-1）．