问题
解答题
已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．
答案
（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，
∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，
又∵圆C：（x+1）2+（y-2）2=2，
∴圆心C（-1，2）到切线的距离等于圆的半径
，2
即
=|-1+2-a| 2
，2
解得：a=-1或a=3，
当截距为零时，设y=kx，
同理可得k=2+
或k=2-6
，6
则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y-3=0或y=(2+
)x或y=(2-6
)x．6
（2）∵切线PM与半径CM垂直，
∴|PM|2=|PC|2-|CM|2．
∴（x1+1）2+（y1-2）2-2=x12+y12．
∴2x1-4y1+3=0．
∴动点P的轨迹是直线2x-4y+3=0．
∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．
而|PO|的最小值为原点O到直线2x-4y+3=0的距离d=
，3 5 10
∴由
，可得
+x 21
=y 21 9 20 2x1-4y1+3=0 x1=- 3 10 y1=
.3 5
故所求点P的坐标为P(-
，3 10
)．3 5