已知函数f(x)=
（1）若f（1）=1，求实数a的值并计算f（-1）+f（3）的值； （2）若不等式f（x）≥0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围； （3）当a=-1时，设g（x）=f（x+b），是否存在实数b使g（x）为奇函数．若存在，求出b的值；若不存在，说明理由． |
（本题12分）
（1）∵f（1）=1，
∴
+a=1，即1+a=1，∴a=021 20+20
∴f(x)=
，2x 2x-1+21-x
∴f(-1)+f(3)=
+2-1 2-2+22
=2．23 22+2-2
（2）∵f（x）≥0，即
+a≥0，2x 2x-1+21-x
亦即a≥-
对任意的x∈[1，+∞）恒成立，2x 2x-1+21-x
设h(x)=-
，2x 2x-1+21-x
∵h(x)=-
=-2x 2x-1+21-x
=-1 2-1+21-2x
，1
+1 2 2 22x
∴h（x）在x∈[1，+∞）时是增函数，所以hmin（x）=h（1）=-1
∴a≥-1即可．
故实数a的取值范围是[-1，+∞）．
（3）∵a=-1，
∴f(x)=
-1=2x 2x-1+21-x
=2x-2x-1-21-x 2x-1+21-x
，2x-1-21-x 2x-1+21-x
∴g(x)=f(x+b)=
，2x+b-1-21-b-x 2x+b-1+21-b-x
方法一：
∵g（x）是奇函数，且x∈R，∴g（0）=0
∴g(0)=
=0，∴2b-1=21-b，即2b-1=1，所以b=1．2b-1-21-b 2b-1+21-b
当b=1时，g(x)=
，∵g(-x)=2x-2-x 2x+2-x
=-2-x-2x 2-x+2x
=-g(x)，2x-2-x 2x+2-x
∴g（x）是奇函数．
故存在b=1，使g（x）是奇函数．
方法二：
∵g（x）是奇函数，∴g（-x）=-g（x），令b-1=c
即
=-2-x+c-2-c+x 2-x+c+2-c+x 2x+c-2-c-x 2x+c+2-c-x
∴22c+2-2x-22x-2-2c=-（22c+22x-2-2x-2-2c）
∴22c-2-2c=0，即24c=1，即c=0，即b=1．
方法三：【这种做法也给分】
当b=1时，g(x)=
，2x-2-x 2x+2-x
∵g(-x)=
=-2-x-2x 2-x+2x
=-g(x)，∴g（x）是奇函数．2x-2-x 2x+2-x
所以存在b=1，使g（x）是奇函数．