（1）证明：任取x₁＞x₂＞0，

f（x₁）-f（x₂）=（

1

a

-

1

x1

）-（

1

a

-

1

x2

）=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

  …（1分）

∵x₁＞x₂＞0，∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＞0，…（3分）

∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）

故f（x）在（0，+∞）上是增函数             …（5分）

（2）可得F(x)=f(x)-a=

1

a

-

1

x

-a…（6分）

∴F(-x)=

1

a

+

1

x

-a，又因为F（-x）为奇函数，

所以 F(-x)+F(x)=

2

a

-2a=0…（8分）

解得 a=1或 a=-1…（10分）

（3）由f(

1

t2

)=t4+1得：t4+t2+1-

1

a

=0，令 m=t²，（m＞0）…（12分）

所以本题等价于关于m的方程 m2+m+1-

1

a

=0有正数解．   …（14分）

令F(m)=m2+m+1-

1

a

，其对称轴为 m=-

1

2

，

∴F（m）在区间(-

1

2

，+∞)为增函数，

所以有 F(0)=1-

1

a

＜0，解得0＜a＜1…（16分）