问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）求实数a的值； （2）判断函数f（x）在R上的单调性并用定义法证明； （3）若对任意x∈R+不等式f(x+
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答案
（1）由题意，f（-x）=-f（x），
∴
=-1+a•2-x 2-x+1 1+a•2x 2x+1
∴
=-a+2-x 2x+1 1+a•2x 2x+1
∴a=-1；
（2）f(x)=
=-1+1-2x 2x+1
在R上为减函数，证明如下：2 2x+1
设x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=
-2 2x1+1
=2 2x2+1 2x2+1-2x1+1 (2x1+1)(2x2+1)
∵x1＜x2，∴2x2+1-2x1+1＞0
∴f（x1）-f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在R上为减函数；
（3）不等式f(x+
-2 x
)≤-m
恒成立，等价于f(x+1 3
-2 x
)≤f(1)m
∵f（x）在R上为减函数
∴x+
-2 x
≤1m
∴
≤x+m
-12 x
∵x＞0，∴x+
-1≥22 x
-12
∴
≤2m
-12
∴0≤m≤9-4
．2