问题
解答题
设已知点A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，α∈(
（Ⅰ）若|
（Ⅱ）若
|
答案
（Ⅰ）解法一：∵A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），
∴
=（cosα-3，sinα），AC
=（cosα，sinα-3）． …（2分）BC
由|
|=|AC
|，得BC
=(cosα-3)2+sin2α
．cos2α+(sinα-3)2
即cosα=sinα． …（4分）
∵
＜α＜π 2
，3π 2
∴α=
．…（6分）5π 4
解法二：∵|
|=|AC
|，BC
∴点C在直线y=x上．…（3分）
则sinα=cosα． …（4分）
∵α∈（
，π 2
），3π 2
∴α=
．…（6分）5π 4
（Ⅱ）
=2cos2α+sin2α 1+cotα 2cos2α+2sinαcosα 1+ cosα sinα
=
=2sinαcosα．…（8分）2cosα(cosα+sinα) sinα+cosα sinα
由
•AC
=-1，得（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1．…（10分）BC
即 sinα+cosα=
．2 3
∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=
，即2sinαcosα=-4 9
． …（12分）5 9
∴
=-2cos2α+sin2α 1+cotα
．…（13分）5 9