（1）已知圆S：x2+y2=a2（a＞0），直线l1：y=k1x+p交圆S于C、

问题解答题

（1）已知圆S：x²+y²=a²（a＞0），直线l₁：y=k₁x+p交圆S于C、D两点，交直线l₂：y=k₂x于E点，若k₁•k₂=-1，证明：E是CD的中点；
（2）已知椭圆T：

=1(a＞b＞0)，直线l₁：y=k₁x+p交椭圆T于C、D两点，交直线l₂：y=k₂x于E点，若k1•k2=-

．问E是否是CD的中点，若是，请给出证明；若不是，请说明理由．

答案

证明：（1）若k₁•k₂=-1，则l2：y=-

x，与l₁：y=k₁x+p联立解得xE=-

k1p

1+k12

．

将l₁：y=k₁x+p与S：x²+y²=a²（a＞0）联立消去y，整理得(1+k12)x2+2k1px+p2-a2=0，

设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点为M（x₀，y₀），

则x0=

x1+x2

2k1p

1+k12

)=-

k1p

1+k12

=xE，

所以E与M重合，故E是CD的中点． …（8分）

（2）证明：若k1•k2=-

，则L2：y=-

a2k1

x，与l₁：y=k₁x+p联立，解得xE=-

a2k1p

b2+a2k12

．

将l₁：y=k₁x+p与T：

=1(a＞b＞0)联立消去y，整理得(b2+a2k12)x2+2a2k1px+a2p2-a2b2=0

设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点为M（x₀，y₀），

则x0=

x1+x2

2a2k1p

b2+a2k12

)=-

a2k1p

b2+a2k12

=xE，

所以E与M重合，故E是CD的中点． …（16分）