问题
解答题
牧场中羊群的最大养殖量为m，为了保证羊群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量m-x．已知羊群的年增长量y与“实际养殖量与空闲率（空闲率是空闲量与最大养殖量的比值）的乘积”成正比，比例系数为k（k＞0）．
（Ⅰ）写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；
（Ⅱ）求羊群年增长量的最大值；
（Ⅲ）当羊群年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
答案
（Ⅰ）由题意，空闲率为m-x m
∴y=kx
=m-x m
x(m-x)，x∈（0，m）…（4分）k m
（Ⅱ）y=
x(m-x)=-k m
(x-k m
)2+m 2
，x∈（0，m）…（6分）km 4
因为函数y=
x(m-x)=-k m
(x-k m
)2+m 2
在(0，km 4
)上是增函数，在(m 2
，m)上是减函数．m 2
所以当x=
时，ymax=m 2
，所以羊群年增长量的最大值为ymax=km 4
．…（8分）km 4
（Ⅲ）由题意知
+m 2
≤m…（10分）km 4
得0＜k≤2…（11分）
答：当羊群年增长量达到最大值时，k的取值范围为0＜k≤2．…（12分）