圆的方程x²+y²-8x+14=0化为标准方程为（x-4）²+y²=2，得到圆心C（4，0），半径r=

2

，

∵直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，

2

为半径的圆与圆C有公共点，

∴直线kx-y-2=0与圆C′：（x-4）²+y²=8有公共点，

∴圆心到直线的距离d≤2

2

，

即

|4k-2|

k2+1

≤2

2

，即2k²-4k-1≤0，

∴

2- 6

2

≤k≤

2+ 6

2

，

∴k的最大值是

2+ 6

2

．

故答案为：

2+ 6

2

．