在平面直角坐标系xOy中，已知以O为圆心的圆与直线l：y=mx+（3-4m

问题解答题

在平面直角坐标系xOy中，已知以O为圆心的圆与直线l：y=mx+（3-4m），（m∈R）恒有公共点，且要求使圆O的面积最小．
（1）写出圆O的方程；
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内动点P使|

|、|

|成等比数列，求

•

的范围；
（3）已知定点Q（-4，3），直线l与圆O交于M、N两点，试判断

•

×tan∠MQN是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l的方程，若不存在，给出理由．

答案

（1）因为直线l：y=mx+（3-4m）过定点T（4，3）

由题意，要使圆O的面积最小，定点T（4，3）在圆上，

所以圆O的方程为x²+y²=25．

（2）A（-5，0），B（5，0），设P（x₀，y₀），则x₀²+y₀²＜25 ①

=(-5-x0，-y0)，

=(5-x0，-y0)，

由|

|，|

|成等比数列得，|

|2=|

|•|

|，

即

(x0+5)2+

•

(x0-5)2+

，整理得：

，即

②

由①②得：0≤

＜

，

•

-25)+

，∴

•

∈[-

，0)

（3）

•

×tan∠MQN=|

|•|

|cos∠MQN×tan∠MQN

|•|

|sin∠MQN=2S△MQN．

由题意，得直线l与圆O的一个交点为M（4，3），又知定点Q（-4，3），

直线l_MQ：y=3，|MQ|=8，则当N（0，-5）时S_△MQN有最大值32．

即

•

×tan∠MQN有最大值为64，

此时直线l的方程为2x-y-5=0．