问题
解答题
已知sinα+cosα=
（1）求sin2α和tan2α的值； （2）求cos（α+2β）的值． |
答案
（1）由题意得（sinα+cosα）2=
，9 5
即1+sin2α=
，∴sin2α=9 5
．4 5
又2α∈（0，
），∴cos2α=π 2
=1-sin22α
，∴tan2α=3 5
=sin2α cos2α
．4 3
（2）∵β∈（
，π 4
），β-π 2
∈（0，π 4
），∴cos（β-π 4
）=π 4
，4 5
于是sin2（β-
）=2sin（β-π 4
）cos（β-π 4
）=π 4
．24 25
又sin2（β-
）=-cos2β，∴cos2β=-π 4
．24 25
又2β∈（
，π），∴sin2β=π 2
．7 25
又cos2α=
=1+cos2α 2
，4 5
∴cosα=
，sinα=2 5
（α∈（0，1 5
））．π 4
∴cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β
=
×（-2 5 5
）-24 25
×5 5
=-7 25
．11 5 25
