问题
解答题
已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0的圆心为C，直线l：y=x+b，圆心C到坐标原点O的距离不大于圆C半径的2倍．
（1）若b=4，求直线l被C所截得弦长的最大值；
（2）若直线l是圆心C下方的圆的切线，求b的取值范围．
答案
（1）已知圆的标准方程是（x+a）2+（y-a）2=4a，
∵圆心C到坐标原点O的距离不大于圆C半径的2倍．
∴
a≤2×22
，∴0＜a≤8，a
则圆心C的坐标是（-a，a），半径为2
．a
直线l的方程化为：x-y+4=0．则圆心C到直线l的距离是=
=|4-2a| 2
×|2-a|．2
设直线l被圆C所截得弦长为L，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系是：
L=2
=2(2
)2-(a
|2-a|)22
=2-2a2+12a-8 -2(a-3)2+10
∵0＜a≤4，∴当a=3时，L的最大值为2
．10
（2）因为直线l与圆C相切，则有
=2|b-2a| 2
，即|b-2a|=2a
．2a
又点C在直线l的上方，∴a＞-a+b，即2a＞b．
∴2a-b=2
，∴b=(2a
-1)2-1．2a
∵0＜a≤8，∴0＜
≤4，2a
∴b∈[-1，8]．
b的取值范围是[-1，8]．