（1）证明：对任意x₁，x₂∈R，当a＜0，

有[f（x₁）+f（x₂）]-2f（

x1+x2

2

）=ax₁²+bx₁+c+ax₂²+bx₂+c-2[a（

x1+x2

2

）²+b（

x1+x2

2

）+c]=ax₁²+ax₂²-

1

2

a（x₁²+x₂²+2x₁x₂）=

1

2

a（x₁-x₂）²             （3分）

∴当a＜0时，f（x₁）+f（x₂）≤2f（

x1+x2

2

），即

f(x1)+f(x2)

2

≤f（

x1+x2

2

）

当a＜0时，函数f（x）是凸函数．                                          （5分）

（2）当x=0时，对于a∈R，有f（x）≤1恒成立；当x∈（0，1]时，要f（x）≤1恒成立，即ax²≤-x+1，

∴a≤

1

x2

-

1

x

=（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

恒成立，∵x∈（0，1]，∴

1

x

≥1，当

1

x

=1时，（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

取到最小值为0，

∴a≤0，又a≠0，∴a的取值范围是（-∞，0）．

由此可知，满足条件的实数a的取值恒为负数，由（1）可知函数f（x）是凸函数  （11分）

（3）令x=y=0，则f（0）=[f（0）]²，∵f（0）≠0，∴f（0）=1，（12分）

令y=-x，则1=f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x），故f（x）=

1

f(-x)

；

若n∈N*，则f（n）=f[（n-1）+1]=f（n-1）f（1）=2f（n-1）=…=[f（1）]²；          （14分）

若n＜0，n∈Z，则-n∈N^*，∴f（n）=

1

f(-n)

=

1

2-n

=2ⁿ；∴x∈Z时，f（x）=2^x．

综上所述，对任意的x∈Z，都有f（x）=2^x；                                 （15分）

∵

1

2

[2⁰+2¹]=

3

2

＞

2

，所以f（x）不是R上的凸函数．                       （16分）

（对任意x₁，x₂∈R，有

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

[2x1+2x2]≥

1

2

×2

2x1+x2

=f（

x1+x2

2

），所以f（x）不是R上的凸函数． 16分）