问题 解答题
设函数f(x)的定义域为[-1,1],f[cos(α+
π
30
)]=tcos(2α+
π
15
)+sin(α+
π
5
)+cos(α+
11π
30
)

(1)若f(0)=-1,求t的值和f(x)的零点;
(2)记h(t),g(t)分别是f(x)的最大值、最小值,求函数F(t)=h(t)-g(t)的解析式.
答案

(1)令α=

15

∴f(cos

π
2
)=tcosπ+sin(
2
3
π
)+cos(
5
 6
π
)=-t=-1

∴t=1

∴f[cos(α+

π
30
)]=cos(2a+
π
15
)+sin(α+
π
5
)+cos(a+
11π
30

=cos2(a+

π
30
)+sin[(a+
π
30
)+
π
6
]+cos[(a+
π
30
)+
π
3
]

=2cos2(a+

π
30
)+cos(a+
π
30
)-1

  令x=cos(a+

π
30

∴f(x)=2x2+x-1

∵-1≤x≤1

∴x1=-1 x2=

1
2

(2)f[cos(α+

π
30
)]=tcos(2a+
π
15
)+sin(α+
π
5
)+cos(a+
11π
30

=tcos2(a+

π
30
)+sin[(a+
π
30
)+
π
6
]+cos[(a+
π
30
)+
π
3
]

=2tcos2(a+

π
30
)+cos(a+
π
30
)-t 

  令x=cos(a+

π
30

∴f(x)=2tx2+x-t    x∈[-1,1],

当t>0时,函数f(x)开口向上

-

1
4t
≤-1时即0<t≤
1
4
,函数在[-1,1]上为增函数,最大值为h(t)=t+1,最小值为g(t)=t-1

-1<-

1
4t
<1时即t>
1
4
,函数在[-1,-
1
4t
]上为减函数,在[-
1
4t
,1]上为增函数,最大值为h(t)=t+1,最小值为g(t)=
-8t2-1
8t

当t=0时,函数在[-1,1]上为增函数,最大值为h(t)=1,最小值为g(t)=-1

当t<0时,函数f(x)开口向下

-1<-

1
4t
<1时即t<-
1
4
,函数在[-1,-
1
4t
]上为增函数,在[-
1
4t
,1]上为减函数,最大值为h(t)=
-8t2-1
8t
,最小值为g(t)=t-1

-

1
4t
≥1时即0>t≥-
1
4
,函数在[-1,1]上为减函数,最大值为h(t)=t-1,最小值为g(t)=t+1

∴F(t)=h(t)-g(t)=

2t+
1
8t
+1  ,t>
1
4
2               , 0≤t≤
1
4
-2              ,-
1
4
≤ t<0
-2t-
1
8t
-1   ,t<-
1
4

多项选择题
单项选择题 A1型题