问题
解答题
已知f（x）=
（1）试求a的值，并证明f（x）在[
（2）设关于x的方程f（x）=x+b的两根为x1，x2，试问是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意的b∈[2，
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答案
（1）∵f（1）=3，∴a=1，∴f（x）=
，设2x2+1 x
≤x1＜x2，2 2
∴f（x2）-f（x1）=2x2+
-（2x1+1 x2
）=2（x2-x1）+1 x1
=（x2-x1）（2-x1-x2 x1x2
），1 x1x2
∵x2＞x1≥
，∴x1x2≥x12≥2 2
，∴0＜1 2
＜2，1 x1x2
∴2-
＞0又x2-x1＞0，∴f（x2）-f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1），1 x1x2
∴f（x）在[
，+∞）上单调递增．2 2
（2）∵f（x）=x+b，∴x2-bx+1=0，∴|x1-x2|=
=(x1+x2)2-4x1x2
又2≤b≤b2-4
，∴0≤|x1-x2|≤3，故只须当t∈[-1，1]，使m2+mt+1≥3恒成立，记g（t）=tm+m2-2，只须：13
，∴g(-1)≥0 g(1)≥0
，∴m2-m-2≥0 m2+m-2≥0
，∴m≥2或m≤-2，故m的取值集合是{m|m≥2或m≤-2}．m≥2，m≤-1 m≥1，m≤-2