问题
解答题
| 已知圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx-2． （1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB=
（2）若k=
（3）若EF、GH为圆O：x2+y2=2的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，
|
答案
（1）∵∠AOB=
，∴点O到l的距离d=π 2
r…（2分）2 2
∴
=2 k2+1
•2 2
，2
∴k=±
…（4分）3
（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，
设P(t，
t-2)，其方程为：x(x-t)+y(y-1 2
t+2)=0，1 2
即x2-tx+y2-(
t-2)y=0，1 2
又C、D在圆O：x2+y2=2上
∴lCD：tx+(
t-2)y-2=0，1 2
即(x+
)t-2y-2=0…（7分）y 2
由
，得x+
=0y 2 2y+2=0
，x= 1 2 y=-1
∴直线CD过定点(
，-1)…（9分）1 2
（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1，d2．
则d12+d22=|OM|2=
…（11分）3 2
∴|EF|=2
=2r2- d 21
，|GH|=212- d 21
=2r2- d 22 2- d 22
∴S=
|EF||GH|=21 2
≤2-(2-
)(2-d 21
)d 22
+2-d 21
=4-d 22
=3 2 5 2
当且仅当2-
=2-d 21
即d1=d2=d 22
时，取“=”3 2
∴四边形EGFH的面积的最大值为
．…（14分）5 2