问题 解答题

已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4.(m∈R)

(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交;

(2)求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程.

答案

(1)直线方程l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4,可以改写为m(2x+y-7)+x+y-4=0,所以直线必经过直线2x+y-7=0和x+y-4=0的交点.由方程组

2x+y-7=0
x+y-4=0
解得
x=3
y=1
即两直线的交点为A(3,1),

又因为点A(3,1)与圆心C(1,2)的距离d=

5
<5,

所以该点在C内,故不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交.

(2)连接AC,当直线l是AC的垂线时,此时的直线l与圆C相交于B、D.BD为直线l被圆所截得的最短弦长.此时,|AC|=

5
,|BC|=5,所以|BD|=2
25-5
=4
5
.即最短弦长为4
5

又直线AC的斜率kAC=-

1
2
,所以直线BD的斜率为2.

此时直线方程为:y-1=2(x-3),即2x-y-5=0.

论述题
判断题