已知圆C的圆心坐标是（-12，3），且圆C与直线x+2y-3=0相交于P，Q两点

问题解答题

已知圆C的圆心坐标是（-

，3），且圆C与直线x+2y-3=0相交于P，Q两点，又OP⊥OQ，O是坐标原点，求圆C的方程．

答案

设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0．其圆心为（-

，-

），则

，-

=3，

∴D=1，E=-6，

∴圆方程为x²+y²+x-6y+F=0．

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

则P，Q两点坐标适合方程组x²+y²+x-6y+F=0x+2y-3=0

消去x得，5y²-20y+12+F=0由韦达定理得：y₁+y₂=4，y₁y₂=

12+F

∴x₁x₂=（-2y₁+3）（-2y₂+3）=4y₁y₂-6（y₁+y₂）+9=

4F-27

∵OP⊥OQ，

∴

y1y2

x1x2

=-1，

即x₁x₂+y₁y₂=0，

∴

4F-27

12+F

=0，

∴F=3

故所求圆的方程为x²+y²+x-6y+3=0