已知向量m=(sinA，sinB），n=(cosB，cosA），m.n=sin2

问题解答题

已知向量

=(sinA，sinB），

=(cosB，cosA），

=sin2C且A，B，C分别为的三边a，b，c的角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且

．(

)=18，求边c的长．

答案

（Ⅰ）

•

=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)

对于△ABC，A+B=π-C，0＜C＜π，∴sin（A+B）=sinC

∴

•

=sinC

又∵

•

=sin2C，

∴sin2C=2sinCcosC=sinC，即cosC=

，又C∈（0，π）

∴C=

；

（Ⅱ）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB

由正弦定理得2c=a+b，

∵

•(

)=18，

∴

•

=18，

得abcosC=18，即ab=36，

由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab，

∴c²=4c²-3×36，即c²=36，

∴c=6．