问题
解答题
| 已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x（x∈R）． （1）当x取什么值时，函数f（x）取得最大值，并求其最大值； （2）若θ为锐角，且f(θ+
|
答案
（1）f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x（1分）
=
(2
sin2x+2 2
cos2x)（2分）2 2
=
sin(2x+2
)．（3分）π 4
∴当2x+
=2kπ+π 4
，即x=kπ+π 2
(k∈Z）时，函数f（x）取得最大值，其值为π 8
．2
（5分）
（2）解法1：∵f(θ+
)=π 8
，∴2 3
sin(2θ+2
)=π 2
．（6分）2 3
∴cos2θ=
．（7分）1 3
∵θ为锐角，即0＜θ＜
，∴0＜2θ＜π．π 2
∴sin2θ=
=1-cos22θ
．（8分）2 2 3
∴tan2θ=
=2sin2θ cos2θ
．（9分）2
∴
=22tanθ 1-tan2θ
．（10分）2
∴
tan2θ+tanθ-2
=0．2
∴(
tanθ-1)(tanθ+2
)=0．2
∴tanθ=
或tanθ=-2 2
（不合题意，舍去）（11分）2
∴tanθ=
．（12分）2 2
解法2：∵f(θ+
)=π 8
，∴2 3
sin(2θ+2
)=π 2
．2 3
∴cos2θ=
．（7分）1 3
∴2cos2θ-1=
．（8分）1 3
∵θ为锐角，即0＜θ＜
，π 2
∴cosθ=
．（9分）6 3
∴sinθ=
=1-cos2θ
．（10分）3 3
∴tanθ=
=sinθ cosθ
．（12分）2 2
解法3：∵f(θ+
)=π 8
，∴2 3
sin(2θ+2
)=π 2
．2 3
∴cos2θ=
．（7分）1 3
∵θ为锐角，即0＜θ＜
，∴0＜2θ＜π．π 2
∴sin2θ=
=1-cos22θ
．（8分）2 2 3
∴tanθ=
（9分）sinθ cosθ
=
（10分）2sinθcosθ 2cos2θ
=
=sin2θ 1+cos2θ
．（12分）2 2