问题
解答题
已知圆的方程是:x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0,其中a≠1,且a∈R.
(Ⅰ)求证:a取不为1的实数时,上述圆恒过定点;
(Ⅱ)求恒与圆相切的直线的方程.
答案
(Ⅰ)将方程x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0
整理得:x2+y2-4y+2+a(2x-2y)=0.
令
解之得x2+y2-4y+2=0 x-y=0
,x=1 y=1
∴定点为(1,1).
(Ⅱ)圆的圆心坐标为(a,2-a),半径为:
|a-1|2
显然,满足题意切线一定存在斜率,
∴可设所求切线方程为:y=kx+b,即kx-y+b=0,
则圆心到直线的距离应等于圆的半径,即
=|ka+(a-2)+b| 1+k2
|a-1|恒成立,2
即2(1+k2)a2-4(1+k2)a+2(1+k2)=(1+k)2a2+2(b-2)(k+1)a+(b-2)2恒成立,
比较系数得
,2(1+k2)=(1+k)2 -4(1+k2)=2(b-2)(k+1) 2(1+k2)=(b-2)2
解之得k=1,b=0,所以所求的直线方程为y=x.