问题 解答题

已知圆的方程是:x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0,其中a≠1,且a∈R.

(Ⅰ)求证:a取不为1的实数时,上述圆恒过定点;

(Ⅱ)求恒与圆相切的直线的方程.

答案

(Ⅰ)将方程x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0

整理得:x2+y2-4y+2+a(2x-2y)=0.

x2+y2-4y+2=0
x-y=0
解之得
x=1
y=1

∴定点为(1,1).

(Ⅱ)圆的圆心坐标为(a,2-a),半径为:

2
|a-1|

显然,满足题意切线一定存在斜率,

∴可设所求切线方程为:y=kx+b,即kx-y+b=0,

则圆心到直线的距离应等于圆的半径,即

|ka+(a-2)+b|
1+k2
=
2
|a-1|恒成立,

即2(1+k2)a2-4(1+k2)a+2(1+k2)=(1+k)2a2+2(b-2)(k+1)a+(b-2)2恒成立,

比较系数得

2(1+k2)=(1+k)2
-4(1+k2)=2(b-2)(k+1)
2(1+k2)=(b-2)2

解之得k=1,b=0,所以所求的直线方程为y=x.

选择题
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