已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4，直线l1过定点A（1，0）．（Ⅰ）若

问题解答题

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，直线l₁过定点A（1，0）．

（Ⅰ）若l₁与圆相切，求l₁的方程；

（Ⅱ）若l₁与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l₁与l₂：x+2y+2=0的交点为N，求证：AM•AN为定值．

答案

（Ⅰ）①若直线l₁的斜率不存在，即直线x=1，符合题意．（2分）

②若直线l₁斜率存在，设直线l₁为y=k（x-1），即kx-y-k=0．

由题意知，圆心（3，4）到已知直线l₁的距离等于半径2，

即

|3k-4-k|

k2+1

=2解之得k=

．

所求直线方程是x=1，3x-4y-3=0．（5分）

（Ⅱ）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx-y-k=0

由

x+2y+2=0

kx-y-k=0

得N(

2k-2

2k+1

，-

2k+1

)又直线CM与l₁垂直，

y=kx-k

y-4=-

(x-3)

得M(

k2+4k+3

1+k2

，

4k2+2k

1+k2

)．

∴AM*AN=

2 |2k+1|

1+k2

•

1+k2

|2k+1|

=6为定值．（10分）