问题
解答题
| 在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2+2x-3与坐标轴的交点都在圆C上． （Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）若圆C被直线x-y+a=0截得的弦长为2
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答案
（I）曲线y=x2-2x-3与y轴的交点为A（0，-3），与x轴的交点为B（1，0）、D（-3，0）．
∵线段BD的垂直平分线为x=-1，
∴设圆C的圆心为（-1，b），
由|AC|=|BC|，得（0+1）2+（-3-b）2=（1+1）2+b2，解得b=-1．
由此可得圆心C（-1，-1），
圆C的半径r=
=(1-0)2+(-1+3)2
，5
因此，圆C的方程为（x+1）2+（y+1）2=5．
（II）∵直线x-y+a=0被圆C截得的弦长为2
，3
∴设点C到直线x-y+a=0的距离为d，
根据垂径定理得2
=2r2-d2
，3
即
=5-d2
，解得d=3
（舍负）．2
∴点C（-1，-1）到直线x-y+a=0的距离为
=|-1+1+a| 2
，2
解得a=±2．