已知函数f(x)=x+
(1)判断函数f(x)的奇偶性. (2)判断f(x)在区间(0,1)上的单调性,并用定义证明. (3)当x∈(-∞,0)时,写出函数f(x)=x+
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(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
所以f(-x)=-x-
=-(x+1 x
)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.1 x
(2)任设0<x1<x2<1,
则f(x1)-f(x2)=x1+
-(x2+1 x1
)=x1-x2+(1 x2
-1 x1
)=(x1-x2)1 x2
,x1x2-1 x1x2
因为0<x1<x2<1,0<x1x2<1,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数在(0,1)上为减函数.
(3)由(1)(2)知,f(x)在(-1,0)上是减函数,在(-∞,1)上是增函数.