问题 解答题
已知函数f(x)=x+
1
x

(1)判断函数f(x)的奇偶性.
(2)判断f(x)在区间(0,1)上的单调性,并用定义证明.
(3)当x∈(-∞,0)时,写出函数f(x)=x+
1
x
的单调区间(不必证明).
答案

(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,

所以f(-x)=-x-

1
x
=-(x+
1
x
)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.

(2)任设0<x1<x2<1,

f(x1)-f(x2)=x1+

1
x1
-(x2+
1
x2
)=x1-x2+(
1
x1
-
1
x2
)=(x1-x2)
x1x2-1
x1x2

因为0<x1<x2<1,0<x1x2<1,

所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),

所以函数在(0,1)上为减函数.

(3)由(1)(2)知,f(x)在(-1,0)上是减函数,在(-∞,1)上是增函数.

单项选择题
多项选择题