已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）．（Ⅰ）当函数

问题解答题

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）．
（Ⅰ）当函数f（x）的图象过点（-1，0），且方程f（x）=0有且只有一个根，求f（x）的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）若F(x)=

f(x)x＞0

-f(x)x＜0

当mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数时，试判断F（m）+F（n）能否大于0？

答案

（Ⅰ）因为f（-1）=0，所以a-b+1=0．（1分）

因为方程f（x）=0有且只有一个根，所以△=b²-4a=0．

所以b²-4（b-1）=0．即b=2，a=1．（3分）

所以f（x）=（x+1）²．（4分）

（Ⅱ）因为g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²-（k-2）x+1

=(x-

k-2

)2+1-

(k-2)2

．（6分）

所以当

k-2

≥2或

k-2

≤-2时，

即k≥6或k≤-2时，g（x）是单调函数．（9分）

（Ⅲ）f（x）为偶函数，所以b=0．所以f（x）=ax²+1．

所以F(x)=

ax2+1x＞0

-ax2-1x＜0.

（10分）

因为mn＜0，不妨设m＞0，则n＜0．

又因为m+n＞0，所以m＞-n＞0．

所以|m|＞|-n|．（12分）

此时F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am²+1-an²-1=a（m²-n²）＞0．

所以F（m）+F（n）＞0．（14分）