问题
解答题
| 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2acosA=ccosB+bcosC． （1）求cosA的值； （2）若a=1，cosB+cosC=
|
答案
（1）由2acosA=ccosB+bcosC及正弦定理得：
2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC，即2sinAcosA=sin（B+C），（4分）
又B+C=π-A，
所以有2sinAcosA=sin（π-A），即2sinAcosA=sinA．
而sinA≠0，所以cosA=
；…（6分）1 2
（2）由cosA=
及0＜A＜π，可得：A=1 2
，π 3
∴B+C=π-A=
，2π 3
由cosB+cosC=
，得cosB+cos(3 2
-B)=2π 3
，3 2
即cosB-
cosB+1 2
sinB=3 2
，3 2
可得：sin(B+
)=π 6
，…（8分）3 2
由A=
，知B+π 3
∈(π 6
，π 6
)，5π 6
于是B+
=π 6
或B+π 3
=π 6
，2π 3
所以B=
或B=π 6
，…（10分）π 2
若B=
，则C=π 6
，π 2
在直角△ABC中，sin
=π 3
，1 c
解得：c=
；2 3 3
若B=
，在直角△ABC中，tanπ 2
=π 3
，1 c
解得：c=
．…（12分）3 3