问题 证明题

如图,AD是△ABC的角平分线,DE、DF分别是△ABD和△ACD的高,求证:AD垂直平分EF.

答案

证明:设AD、EF的交点为K,

∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,

∴DE=DF.

∴D在线段EF的垂直平分线上.

∵DE⊥AB,DF⊥AC,

∴∠AED=∠AFD=90°,

在Rt△ADE和Rt△ADF中,

AD=AD,DE=DF,

∴Rt△ADERt△ADF(HL).

∴AE=AF.

又∵∠EAD=∠FAD,AK=AK,

∴△AEK△AFK,

∴EK=KF,∠AKE=∠AKF=90°,

∴AD是线段EF的垂直平分线.

单项选择题
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