（1）当t=1时，f（x）=-cos²x-2sinx+2-6+2=sin²x-2sinx-3=（sinx-1）²-4，

故当sinx=1时，f（x）有最小值等于-4．

（2）若t∈R，∵f（x）=-cos²x-2tsinx+2t²-6t+2=sin²x-2tsinx+2t²-6t+1=（sinx-t）²+t²-6t+1，

且-1≤sinx≤1．

当t＜-1时，则当sinx=-1时，f（x）取得最小值g（t）=（-1-t）²+t²-6t+1=2t²-4t+2．

当-1≤t≤1时，则当sinx=t时，f（x）的最小值g（t）=t²-6t+1．

当t＞1时，则当sinx=1时，f（x）的最小值g（t）=（1-t）²+t²-6t+1=2t²-8t+2．

综上，g（t）=

（3）当-1≤t≤1时，关于t的方程g（t）=kt 即 t²-6t+1=kt．由题意可得 

关于t的方程 t²-6t+1-kt=0 在[-1，1]内有且只有一个实根，

①当△=（6+k）²-4=0时，应有-1≤

若 k=-4，方程有两个相等的根t=1，若 k=-8，方程有两个相等的根t=-1．

②当△=（6+k）²-4＞0时，即 k＜-8，或k＞-4时，

令h（t）=t²-6t+1-kt，由题意可得  h（-1）h（1）=（k+8）（-k-4）＜0，解得 k＜-8，或 k＞-4．

综合①②可得，当k≥-4，或k≤-8 时，关于t的方程g（t）=kt有且只有一个实根．

故所求的实数k的取值范围为（-∞，-8[∪[-4，+∞）．