问题
解答题
已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，都有
（1）证明函数a=1在f（x）=-x2+x+lnx上是增函数； （2）解不等式：f（
（3）若f′(x)=-2x+1+
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答案
（1）设-1≤x1＜x2≤1
∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）．
又x1＜x2，∴x2+（-x1）=x2-x1＞0，由题设有
＞0，f(x2)+f(-x1) x2+(-x1)
∴f（x2）+f（-x1）＞0即f（x2）＞f（x1）∴f（x）在[-1，1]上是增函数
（2）由（1）知：f(
)＞0⇔f(0)＜f(1 x-1
)1 x-1
⇔-1≤
≤11 x-1 0＜ 1 x-1
⇔x＞1
∴原不等式的解集为x＞1．
（3）由（1）知f（x）≤m2-2pm+1对任意x∈[-1，1]恒成立
只需1≤m2-2pm+1对p∈[-1，1]恒成立，即m2-2pm≥0对p∈[-1，1]恒成立设g（p）=m2-2mp，则
⇔g(-1)≥0 g(1)≥0
解得m≤-2或m≥2或m=0m2+2m≥0 m2-2m≥0
∴m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）∪{0}．