问题
解答题
设函数f(x)=
（1）用定义证明：函数f（x）是R上的增函数； （2）证明：对任意的实数t，都有f（t）+f（1-t）=1； （3）求值：f(
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答案
（1）证明：设任意x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=
-4x1 2+4x1
=4x2 2+4x2
，2(4x1-4x2) (2+4x1)(2+4x2)
∵x1＜x2，
∴4x1＜4x2，∴4x1-4x2＜0，
又2+4x1＞0，2+4x2＞0．
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），…（4分）
∴f（x）在R上是增函数 …（6分）
（2）对任意t，f（t）+f（1-t）=
-4t 2+4t
=4t-1 2+4t-1
-4t 2+4t
=4 24t+4
=1．2+4t 2+4t
∴对于任意t，f（t）+f（1-t）=1 …（10分）
（3）∵由（2）得f（t）+f（1-t）=1
∴f(
)+f(1 2012
)=1，f(2011 2012
)+f(2 2012
)=1，2010 2012
∴f(
)+f(1 2012
)+f(2 2012
)+…+f(3 2012
)+f(2011 2012
)+f(2011 2012
)+f(2010 2012
)+…+f(2009 2012
)=2011，1 2012
∴f(
)+f(1 2012
)+f(2 2012
)+…+f(3 2012
)=2011 2012
…（14分）2011 2