解法一：当过点P的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为k，

由点斜式可得切线方程为y-1=k（x-3），即kx-y-3k+1=0，

∴

|-3k+1|

k2+1

=3，解得k=-

4

3

．

故所求切线方程为-

4

3

x-y+4+1=0，即4x+3y-15=0．

当过点P的切线斜率不存在时，方程为x=3，也满足条件．

故所求圆的切线方程为4x+3y-15=0或x=3．

解法二：设切线方程为y-1=k（x-3），与圆的方程联立，消去y并整理得（k²+1）x²-2k（3k-1）x+9k²-6k-8=0．

因为直线与圆相切，所以△=0，即[-2k（3k-1）]²-4（k²+1）（9k²-6k-8）=0．

解得k=-

4

3

，

所以切线方程为4x+3y-15=0．

又过点P（3，1）与x轴垂直的直线x=3也与圆相切，故所求圆的切线方程为4x+3y-15=0或x=3．