sinα+sinβ=

1

2

①，

cosα+cosβ=

1

3

②，

①²+②²得 sin²α+sin²β+cos²α+cos²β+2sinαsinβ+2cosαcosβ=

25

144

，

即2+2cos（α-β）=

25

144

，∴cos（α-β）=

25

288

-1=-

263

288

，

①²-②²得-sin²α-sin²β+cos²α+cos²β-2sinαsinβ+2cosαcosβ=

7

144

，

即cos2α+cos2β+2cos（α+β）=

7

144

，

和差化积公式 cos2α+cos2β=2cos（α+β）cos（α-β）=-

263

144

cos（α+β），

∴2cos（α+β）-

263

144

cos（α+β）=

25

144

cos（α+β）=

7

144

，∴cos（α+β）=

7

25

∴sin（α+β）=

24

25

∴tαn（α+β）=

24

7

；

所以tαn（α+β）=

2tan α+β 2

1-tan2 α+β 2

=

24

7

．

解得：tan

α+β

2

=

3

4

或-

4

3

．

故答案为：

3

4

或-

4

3

．